"People place importance on both their working hours and private time. So we should propose a new style of 'Cool Biz'"
「皆さん仕事の時間もプライベートな時間も大切にしています。なので、新しいクールビズを提案すべきだと思っています」
place importance on ...は「～に重きを置く、～を重視する」という定型的な表現です。
both A and Bは、肯定文においては「ＡもＢも」ですが、否定文で用いられるbothは「どちらも～というわけではない」という部分否定になります。例えば、A or B but not bothと言えば「ＡまたはＢで、どちらか一方」という意味になります。