"Reiwa" is a name that will be on the lips of most Japanese today,
「令和」は今日、ほとんどの日本人が口にする名称です。
be on the lips of someoneは「（誰かが）口にする、話題にする」という表現です。... is on everyone's lipsと言えば「みんなが～のことを話している」で、つまり多くの人が興味・関心を持ち話題にしているとなります。
it will beのあとには、on the lips of most Japaneseが省略されています。