A partial U.S. government shutdown is nearing its second week with no end in sight.
アメリカの一部の政府機関の閉鎖は、いつまで続くのか見当がつかないまま、２週間に近づいています。
partialは「部分的な、一部の」という意味です。
ここでのgovernment shutdownは「政府機関の閉鎖」です。最後のセンテンスには、government agencies「政府機関」という表現が出てきます。
ここでのnearは「近づく」という動詞です。
with no end in sightは「終わりの見通しが立たない状態」、つまり「いつまで続くのか見当がつかない状態」という意味です。
アメリカの政府機関の一部の閉鎖（例えば、国立公園のゴミ清掃ができないなど）について、それがいつまで続くのか事態の打開の見通しが立たないことをこのように表現しています。